COURS

1.1 régulation et asservissement.

La majorité des processus industriels nécessitent le contrôle d’un certain nombre de grandeurs physiques telles que la température, la pression, le niveau, le débit, le pH, la concentration, etc. Il appartient à la chaîne de régulation (et plus généralement à la chaîne d'asservisse­ment) de maintenir ces grandeurs à des niveaux prédéterminés.

1.1.1. Régulation.

Toute chaîne de régulation comprend trois éléments indispensables :

•  l'organe de mesure (transmetteur);
•  l'organe de régulation (régulateur);
•  l'organe de contrôle (actionneur).

Il faut commen­cer par mesurer les grandeurs à contrôler. L'organe de régulation récupère ces mesures et les compare aux valeurs souhaitées, plus communé­ment appelées valeurs de consigne. En cas de non concordance des valeurs de mesure et des valeurs de consigne, l'organe de régulation envoie une commande à l'orga­ne de contrôle (vanne, moteur, etc.), afin que celui-ci agisse sur le processus. Les para­mètres qui régissent le processus sont ainsi stabilisés en permanence à des niveaux souhaités.

 

L’objectif d’une boucle de régulation est donc de maintenir constant la grandeur contrôlée conformément à la consigne (constante) indépendamment des perturbations. S’il n’y a pas de perturbations, on n’a pas besoin de faire la régulation.

 

1.1.2. Asservissement.

Dans une boucle dite d’asservissement, on retrouve les mêmes organes que dans une boucle de régulation ; cependant la grandeur contrôlée est tenue à suivre le plus fidèlement possible les variations de la consigne.

 

1.2. structure de la commande en boucle fermée.

Afin d’établir la structure d'un système asservi, on va commencer par étudier deux exemples dans lesquels l'homme est la " partie commande ".

Exemple 1: conducteur au volant d'un véhicule :

Fig 1.1

Le conducteur doit suivre la route en se fixant pour objectif de laisser une distance d₀ entre le véhicule et le bord de la route schématisé par un trait (consigne). Pour se faire, Il observe la route et son environnement et évalue la distance qui sépare son véhicule du bord de la route. Il détermine en fonction de sa position actuelle l'angle qu'il doit donner au volant pour maintenir son objectif pendant toute la durée du déplacement.

Si un coup de vent dévie le véhicule (perturbation), le conducteur agit pour s'opposer à cette perturbation.

 

Exemple 2 : réglage de niveau.

L’homme doit maintenir le niveau de liquide autour du repère R (consigne). Pour cela, il mesure le niveau à l’aide d’un tube transparent monté en dérivation avec le réservoir. Il compare l’information de mesure reçue à celle du repère R. Il décide alors de réagir selon l’écart entre la mesure et le repère. Son  cerveau devient le régulateur. Une fois le niveau atteint le repère R, il ferme la vanne. En cas de soutirage du liquide (perturbation), l’homme en est informé puis décide d’agir dans le but de ramener le niveau à sa valeur désirée (consigne R).

 

Fig 1.2

 

L’examen de ces deux exemples permet de relever différentes fonctions assurées par l’homme ou par des organes. En effet, pour le dernier système on a les fonctions suivantes :

 

· La fonction de mesure : le niveau est mesuré à l’aide d’un tube dérivateur;

· La fonction de transmission de l’information : l’information est lue sur le tube et transmise visuellement;

· La fonction de comparaison : le niveau instantané est comparé avec le niveau désiré; celui-ci étant repéré par le trait R;

· La fonction de régulation : en fonction de l’écart observé entre le niveau atteint et le niveau désiré, il y’a ouverture de  la vanne plus ou moins grand;

· La fonction d’action : selon l’écart observé, il y’a action sur la vanne manuelle.

 

En résumé, une boucle d’asservissement ou de régulation est toujours formée des éléments suivants :

 

En général	Dans l’exemple 2
Capteur (Elément primaire de la chaîne de mesure)	Tube transparent
Transformation de l’information	Transmission  visuelle de l’information de mesure
Comparateur	Comparaison réalisée par le cerveau
Régulateur	Décision et élaboration des ordres par le cerveau
Organe de réglage	Vanne manuelle

On peut présenter la structure de la commande par le schéma fonctionnel suivant:

 

Fig 1.3

 

Cette organisation fonctionnelle représente la structure de base qu’on trouve dans tous les systèmes asservis ou régulés. Elle fait intervenir deux chaînes : une chaîne d'action et une chaîne d'information.

 

Ce type de système est appelé aussi système bouclé ou système de commande en boucle fermée.

 

1.2.1. Constituants.

 

Une chaîne de commande en boucle fermée comprend :

 

· Un comparateur

Il élabore le signal d’écart entre la consigne et la mesure.

 

· Un régulateur

Le régulateur est le constituant ²intelligent² dans une boucle de régulation. Doté principalement de trois actions communément appelées Proportionnelle, Intégrale et Dérivée, le régulateur élabore à partir du signal d'erreur l'ordre de commande pour agir sur l’actionneur.

 

· Un actionneur

C'est l'organe d'action qui apporte l'énergie au système pour produire l'effet souhaité.

· Un capteur (transmetteur)

Le capteur prélève une information physique sur la grandeur contrôlée et la transforme en un signal compréhensible par le régulateur. La précision et la rapidité sont deux caractéristiques importantes du capteur.

 

1.2.2. Informations.

Les principaux signaux dans une chaîne de commande en boucle fermée sont :

· Consigne

La consigne ou référence est la grandeur d’entrée d’une boucle d’asservissement ou de régulation que la grandeur contrôlée doit suivre. Elle doit impérativement être de même nature physique que la mesure pour pouvoir lui être comparée. 

· Sortie

La sortie contrôlée représente le phénomène physique qu’il faut contrôler. C’est la raison d’être d’une boucle de contrôle.

· Mesure

Cette grandeur est fournie par la chaîne de retour. C’est l’image de la grandeur contrôlée.

· Perturbation

Une perturbation est tout phénomène physique intervenant sur le système qui modifie l’état de la sortie. Un système régulé doit pouvoir maintenir la sortie à son état désiré et ce, indépendamment, des perturbations.

· Ecart (Erreur)

C’est la différence à chaque instant entre la consigne et la mesure. Cette comparaison ne peut être réalisée que sur des grandeurs de même nature.

· Commande

C’est le signal élaboré par le régulateur pour agir c’est l’organe de réglage.

 

1.2.3. Fonctionnement.

L'ordre donné en entrée est comparé avec l'image de la sortie fournie par le capteur. Le signal obtenu en sortie du comparateur  va permettre de commander la chaîne d'action composée de deux éléments principaux, le correcteur et l'actionneur.

Le rôle du correcteur est d'adapter le signal d'erreur afin d'obtenir une réponse optimale de l'actionneur. Les critères choisis peuvent être divers mais essentiellement basés sur la précision, la rapidité, et la stabilité.

L'actionneur est chargé de réaliser l'action demandée par l'ordre d'entrée, à partir du signal de sortie du correcteur. C'est en général l'élément qui apporte la puissance pour l'action.

En cas de phénomènes perturbateurs agissant sur la grandeur de sortie l’obligeant à s’écarter de sa valeur désirée, le capteur rend compte au régulateur de l’état de la sortie et le processus de correction est déclenché par le régulateur afin de ramener la grandeur de sortie à sa valeur désirée.

1.3. un exemple INDUSTRIEL : régulation de vitesse.

Dans l’industrie, on a souvent besoin d’entraîner une charge à vitesse constante malgré les couples résistants qui s’exercent sur elle. C’est aussi le cas d’un radar dont la vitesse de balayage doit être le plus constant possible. On peut utiliser le schéma de principe donné par la figure 1.4 suivante :

Fig 1.4

La grandeur contrôlée est la vitesse de rotation. Elle est mesurée par une génératrice tachymètrique assurant la fonction de mesure en donnant une tension Um, image de la vitesse de rotation. La vitesse de consigne est affichée sous forme d’une tension de référence U_ref  par le curseur d’un potentiomètre. La tension d’écart e élaborée par le comparateur attaque l’actionneur de puissance. Les perturbations sont celles qui interviennent sur la charge (variations du couple résistant au niveau de la charge, frottements secs, etc ...).

Le fonctionnement de cette boucle est alors le suivant :

• Si W diminue alors à cause de la charge (perturbation), son image U_m diminue. Dans ces conditions e = U_ref - U_m augmente. V croît et donc W croît également (cas d'une machine à courant continu à excitation indépendante) ;
• Inversement si W augmente alors U_m en fait autant, donc e et V diminuent et W décroît;
• L’asservissement est réalisé dès que e = U_ref - U_m = 0.

1.3. les principaux concepts d’ASSERVISSEMENT et de régulation.

 

Tout système asservi ou régulé doit posséder des performances. Celles-ci peuvent être résumées en trois points : la précision, la stabilité et la rapidité.

 

1.3.1. La précision.

 

L’étude de la précision d’un système asservi a pour objectif d’évaluer l’aptitude de la sortie à suivre les variations de la consigne. Plus l’écart entre ces grandeurs est petit, plus l’asservissement est précis. De même, la précision peut être étudiée vis-à-vis des perturbations dans le cas d’une boucle de régulation où il s’agit d’évaluer cet écart, suite à l’effet des perturbations.

 

Indépendamment de l’objectif de la boucle, il faut cependant distinguer entre la précision permanente et la précision dynamique.

 

1.3.1.1. La précision permanente.

 

On appelle erreur permanente l’écart entre la sortie mesurée et la consigne lorsque la boucle d’asservissement ou de régulation est dans son état permanent. Cette définition est illustrée par les figures suivantes relatives à un asservissement :

Fig 1.5

 

Dans le cas de la figure 1.5, la consigne est constante et la sortie s’est stabilisée à sa valeur finale, c'est-à-dire qu’elle a atteint son état permanent après une phase transitoire. On n’observe aucun écart en régime permanent: Il s’agit d’un asservissement précis. Par contre sur la figure 1.6, la sortie a atteint son état permanent et on note que l’écart n’est pas nul. Il s’agit d’un asservissement non précis (ou peu précis !!).

Fig 1.6

 

Une analyse similaire peut être menée dans le cas du fonctionnement en régulation, mais cette fois la précision est étudiée vis-à-vis des perturbations.

 

La précision est une performance d’une boucle d’asservissement ou de régulation. C’est d’abord la raison d’être de celle-ci.

 

Un point important qu’il convient de souligner est que l’étude de la précision est faite sans tenir compte des incertitudes induites par les instruments utilisés.

 

1.3.1.2. La précision dynamique.

 

L’erreur dynamique est l’écart entre la sortie et la consigne pendant l’évolution de ces signaux. Un écart transitoire apparaît à chaque changement de consigne ou suite à une perturbation. S’il est normal qu’un tel écart puisse exister pendant la phase transitoire, il est néanmoins important qu’i soit le plus faible possible et que la phase transitoire soit la plus courte possible.

 

1.3.2. La stabilité.

 

Une définition de la stabilité est la suivante: on dit qu'un asservissement est stable si pour une consigne bornée en amplitude, tous les autres signaux  sont aussi bornés en amplitude.

 

Les courbes 1 à 3 de la figure 1.7 représentent des réponses possibles d’un système asservi à une entrée de consigne constante. Les courbes 1 et 2 sont caractéristiques d’un asservissement stable. En effet, pour une entrée constante, la sortie évolue et se stabilise à une valeur finale constante. La courbe 3 est caractéristique d’un asservissement instable : la sortie diverge.

Un système asservi ou régulé fonctionne en boucle fermée selon le principe de la contre réaction ou Feedback. Il peut être instable s’il est dimensionné de manière incorrecte. Il est par conséquent important de s’assurer de la stabilité avant toute mise en marche : une boucle instable est une boucle inutilisable.

Fig 1.7

 

1.3.3. Le comportement transitoire.

Pour un asservissement stable, lorsqu’une consigne est appliquée ou suite à l’apparition d’une perturbation, la sortie passe par une phase transitoire avant d’atteindre son état permanent. Il est important de contrôler cette phase et d’évaluer ses paramètres.

Parmi les paramètres les plus pertinents pour caractériser le comportement transitoire, on définit le dépassement transitoire et le temps de réponse.

 

1.4.3.1. Le dépassement.

Pour illustrer la notion du dépassement, on considère la réponse d’un système asservi représentée par la figure 1.8. Elle est caractérisée par la présence des oscillations d’amplitudes décroissantes.

Fig 1.8

 

Il faut bien comprendre que ces oscillations apparaissent aussi en tout point de la boucle et en particulier au niveau du signal de commande, ce qui engendre des sollicitations abusives de l’organe de commande (Vanne, moteur..). En effet, un tel comportement oscillant se reproduira à chaque variation de la consigne ou suite à l’effet d’une perturbation.

Afin d’évaluer quantitativement le taux du dépassement, on définit le premier dépassement par :

Dans l’exemple, on a environ :

Dans certaines applications industrielles, le dépassement doit être nul ou  très faible.  La raison est généralement liée à la sécurité du personnel et du matériel.

1.3.3.2. La rapidité.

La rapidité est évaluée par le temps de réponse. Celui-ci est défini comme étant la durée pendant laquelle la réponse évolue d’un état stabilisé à un autre. Plus le temps de réponse est faible, plus l’asservissement est dit rapide.

Fig 1.9

 

La comparaison entre les deux réponses ci-dessus permet de conclure que le système asservi dont la réponse est S1 est plus rapide que l’asservissement de réponse S2.

 

En conclusion générale, l’automaticien est soucieux de concevoir un système automatique (asservi ou régulé) avec des performances spécifiées par le cahier des charges. Les spécifications sont formulées de manière à obtenir un système de commande en boucle fermée Précis, Stable et Rapide. Souvent ces performances sont difficiles à satisfaire simultanément et généralement un compromis s’impose. L’art de l’automaticien est de trouver ce compromis en calculant judicieusement les paramètres du régulateur, l’organe « intelligent » de la boucle. 


   

2.1. notions de système.

 

2.1.1. Définitions.

• Système : Un système est un assemblage de constituants physiques branchés ou reliés les uns aux autres de façon à former une entité ou un tout.
• Système de commande : Un système de commande est un assemblage de constituants physiques branchés ou reliés les uns aux autres de telle sorte qu’il puisse se commander, se diriger, ou se régler lui-même, ou bien commander, diriger ou régler un autre système.

Exemple 1:

La figure suivante représente un système de commande élémentaire réglant le rayon lumineux selon l’équation « angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence a »

Fig 2.1

Ce système est composé de deux éléments : une source lumineuse et un miroir. Il traduit la loi de la réflexion qui stipule que l'angle de réflexion d'un rayon lumineux est égal à l'angle d'incidence. Autrement dit, l'angle auquel un rayon lumineux frappe une surface réfléchissante détermine l'angle de réflexion du rayon par rapport à la surface.

Exemple 2 :

Le système de commande ci-dessous est destiné à remplir un réservoir d’eau après qu’il soit vidé au moyen d’un robinet de vidange. Le système doit automatiquement couper l’arrivée d’eau quand le niveau a atteint une hauteur prédéterminée.

Ce système de nature hydromécanique permet de schématiser le principe de la chasse d’eau. Contrairement au système de l’exemple 1, celui-ci fonctionne de manière automatique c'est-à-dire que le remplissage à un niveau prédéterminé se fait automatiquement chaque fois qu’il y’a un soutirage de l’eau.

Fig 2.2

 

Les exemples vus jusqu’à présent montrent qu’il y’a fondamentalement trois types de systèmes de commande :

-Système de commande fabriqué par l’homme : interrupteur électrique, thermostat…

-Système de commande naturel, y compris le système de commande biologique : phénomène de transpiration qui fait partie du système de commande réglant la température du corps de  l’être humain….

- Système de commande dont les constituants sont soit fabriqués par l’homme, soit naturels : un conducteur au volant de sa voiture où les organes mis en service sont à la fois fabriqués par l’homme et biologiques.

• Système dynamique : On appelle système dynamique un système dont l'étude ne peut être réalisée qu’en prenant en compte les valeurs passées du phénomène. Les grandeurs de sortie dépendent des valeurs présentes et passées des grandeurs d'entrée. On oppose aux systèmes dynamiques, les systèmes statiques.

Exemple de système dynamique :

Le condensateur C se charge à travers une résistance R lorsqu’on applique une tension continue ue. Selon la résistance incorporée dans le circuit, le condensateur se chargera plus ou moins et l’évolution de la tension us aux bornes de C évolue dynamiquement en fonction du temps.

Fig 2.3

Exemple de système statique :

Dans l’exemple ci-dessous, la tension au bornes de la résistance R’ est liée à la tension ue par la relation :

Cette relation est valable indépendamment du temps.

Fig 2.4

• Signal d’entrée : On appelle signal d’entrée l’excitation  ou le stimulus appliqué au système de commande à partir d’une source d’énergie extérieure, en général afin d’y provoquer une réponse spécifique. Dans les exemples ci-dessus, ue est le signal d’entrée.
• Signal de sortie : On appelle signal de sortie la réponse effective obtenue à partir du système de commande. Elle peut coïncider ou non avec la réponse que doit normalement provoquer le signal d’entrée. Dans les exemples ci-dessus, us est le signal de sortie.

Un système peut avoir plusieurs entrées et plusieurs sorties. En effet, on considère à titre d’exemple, un moteur à courant continu et à excitation indépendante. C’est un système dynamique de type électromécanique. En s’intéressant à la vitesse de rotation (grandeur de sortie), celle-ci peut être contrôlée soit par la tension induit, soit par la tension inducteur. Donc c’est système à deux entrées et une seule sortie.

Un système à une entrée et une sortie est appelé monovariable ou monoentrée-monosortie. Un système à plusieurs entrées et sorties est appelé multivariable ou multientrées-multisorties.


  représentation des SYSTEMES

Pour réaliser une commande automatique d’un système, il est nécessaire d'établir des schémas représentant ce système et les relations existant entre les entrées (variables de commande) et les sorties (variables de sortie). L'ensemble de ces relations s'appelle "modèle mathématique" du système.

On distingue différents schémas et différents modèles.

  Représentation par schéma physique.

Une des représentations qui va permettre d’étudier un système est bien sûr le schéma physique (schéma électrique, mécanique, électronique,...).

Ce type de schéma utilise la normalisation de chaque technologie.

Exemple 1 :

Schéma électrique - circuit RC

Le circuit se compose d’une résistance R et d’un condensateur C en série.

Fig 2.11

Exemple 2 :

Schéma mécanique - masse ressort amortisseur.

Le système se compose d'un ressort, d'une masse M et d'un amortisseur en série.

Fig 2.12

Ce type de représentation ne convient pas toujours pour représenter les systèmes étudiés qui sont de nature différente (thermique, hydraulique…) pour lesquels, il n’existe pas forcément une représentation physique normalisée.

2.3.2. Représentation selon la norme ISA.

Pour représenter les fonctions, les équipements, les systèmes de  mesure et de contrôle des procédés, il existe plusieurs types de schémas, de diagrammes et de symboles spécifiques.

Les symboles les plus utilisés pour représenter les fonctions, les équipements, les systèmes de mesure et de contrôle des procédés sont standardisés, créant ainsi un langage commun et universel permettant aux différents utilisateurs une interprétation unique.

Cette standardisation est définie par la norme ISA (Instrument Society of America).

On présente ci-dessous un exemple de représentation d’une boucle de régulation utilisant la norme ISA.

il Il s’agit d’une boucle de régulation de niveau d’un liquide (L : Level) dans le réservoir. Tous les instruments de cette boucle ont une étiquette commençant par la lettre L, grandeur faisant l’objet de la régulation. La deuxième lettre indique généralement la fonction réalisée par l’instrument.

• LT : Un appareil mesurant le niveau «Level Transmetter »
• LC : Un régulateur « Level Controller »
• LV : Une vanne de régulation  « Level Valve »
• LY : Un convertisseur de signal électrique à pneumatique.

Fig 2.13

Chaque type de ligne correspond à un lien ou un type de signal :

Les chiffres en préfixe (2) et en suffixe (227) ajoutés à l’intérieur des bulles indiquent respectivement le numéro d’une zone à l’intérieur de l’usine et le numéro attribué à cette boucle de régulation.

L’exemple de la boucle de régulation de niveau est un exemple illustratif utilisant la norme ISA. L’instrumentation des systèmes automatisés et la représentation normalisée est un domaine extrêmement vaste et consistant. Dans le cas où cette représentation est utilisée pour la représentation ou l’étude d’un système, une légende explicative lui sera associée.

  Représentation par les équations différentielles.

Un système dynamique linéaire peut être représenté par une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs d’entrée et de sortie. 

Fig 2.14

L’équation différentielle générale d’un système linéaire est de la forme :

 

Pour les systèmes réels m ³. n.

  Représentation par fonction de transfert à partir d’une équation différentielle.

Soit un système décrit par une équation différentielle liant l’entrée u(t) à la sortie y(t) :

On suppose que les conditions initiales sont nulles. Les transformées respectives de l’entrée et de la sortie sont :

On rappelle que la transformée de Laplace de la dérivée d’ordre n d’une fonction f(t) pour des conditions initiales supposées nulles, est donnée par :

En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l’équation différentielle, on obtient :

D’où le rapport :

H(p) est  la fonction de transfert ou transmittance du système. Elle permet de déterminer les caractéristiques principales du système sans résoudre l’équation différentielle.

La fonction de transfert caractérise la dynamique du système, elle ne dépend que de ses caractéristiques physiques. Elle est largement utilisée dans la théorie des systèmes linéaires continus et invariants monovariables.

C’est la représentation qui sera adoptée par la suite pour la description et l’étude des systèmes linéaires continus et invariants.

De manière générale, la fonction de transfert d’un système se présente sous la forme d’un rapport de deux polynômes de la variable de Laplace p. Elle peut s’écrire sous la forme:

H(p) = N(p)/D(p)

On appelle respectivement les zéros et les pôles de la fonction de transfert les racines de l’équation N(p) = 0 et D(p) = 0. L’ordre d’un système est défini par le degré de D(p) qui, en général, est supérieur ou égal à ce lui numérateur pour les systèmes physiques.

Afin d’illustrer cette forme de représentation, on considère le circuit électrique suivant :

Fig. 2.15

u(t) étant l’entrée de ce système. Si on s’intéresse en particulier à la tension aux bornes de l’inductance L; y(t) définie alors la grandeur de sortie.

Ce circuit est régi par les équations suivantes :

L’application de la transformée de Laplace et l’élimination des variables I₁ et I₂ permet de trouver la fonction de transfert du circuit :

Il est possible d’utiliser la notion de schéma symbolique et obtenir directement la fonction de transfert.

  Représentation par le schéma fonctionnel.

La représentation par le schéma fonctionnel, appelé aussi diagramme fonctionnel, permet de représenter de manière graphique un système physique. C’est un moyen à la fois utile et commode pour représenter les relations fonctionnelles entre les différents organes d’un système de commande.

Il est constitué essentiellement de :

• Blocs (rectangles) : chaque rectangle représente un élément ou un groupe d’éléments du système,
• Flèches : chaque flèche représente une grandeur physique entrant ou sortant d’un élément,
• Sommateurs qui permettent d’ajouter ou de soustraire algébriquement des grandeurs physiques compatibles,
• Points de branchement (jonctions): un point de branchement sert pour prélever une information.

2.3.5.1. Eléments d’un schéma fonctionnel.

• Bloc

Le bloc possède une entrée E(p) et une sortie S(p) à l’intérieur duquel on précise l’élément (constituant) qu’il représente, ou on inscrit la fonction de transfert G(p) ou simplement G de l’élément. Celle-ci peut être déterminée d'après les équations de fonctionnement de l’élément.

S(p) = G(p).E(p)

Fig 2.16

Le sens des flèches est important; il permet de distinguer l’entrée de la sortie.

Remarque : On peut noter indifféremment l’entrée et la sortie d’un bloc: E(t), S(t), E(p), S(p)  ou tout simplement E et S. Mais lorsqu’il s’agit d’écrire la relation entrée/sortie, il faut l’écrire soit dans le domaine temporel sous forme d’équation différentielle, soit dans le domaine de Laplace sous forme de fonction de transfert.

• Jonction

Une jonction permet de prélever une information en un point d’un schéma fonctionnel.

Fig 2.17

La variable de la branche 1 est identique à celle de la branche 2. Un prélèvement d’information ne modifie pas la variable.

• Sommateur

Fig 2.18

Le sommateur permet d’additionner algébriquement des variables entre elles. Il possède plusieurs entrées mais une seule sortie. Dans l’exemple de la figure 2.25, on a :

S  = E1 + E2 – E3

• Comparateur

Fig 2.19

C’est un cas particulier du sommateur. Un comparateur permet d’élaborer la différence entre deux entrées (de comparer) :

S  = E2 – E1

  Manipulations sur les schémas blocs.

Il existe une multitude de transformations graphiques permettant de transformer le schéma fonctionnel global. Le but est généralement d’obtenir un schéma réduit.

On donne ci-dessus quelques unes de ces transformations.

• Produit

Fig 2.20

 

Il est possible de remplacer des blocs en ligne (en série ou en cascade) par un seul bloc. La fonction de transfert de ce bloc équivalent est le  produit des fonctions de transfert de chaque bloc.

S1 = K.E     S2 = F.S1     S = G.S2

S = H.E

avec H=K.F.G

Fig 2.21

• Déplacement d’une sommation

Les schémas des figures 2.22 et 2.23 sont équivalents :

S1=K.E  et  S2=K.M e = S1- S2     S =G e S =KG (E - M)	es = E - M es = Ke  S =G es S = KG (E - M)
Fig 2.22	Fig 2.23

De la transformation ci-dessus, on peut déduire que les deux schémas suivants sont équivalents :

S = G e  S1=K.E  et  e = S1-M S =GK E - G M	S =GK(E - M/K) S =GK E - G M
Fig 2.24	Fig 2.25

Au-delà de cette équivalence de point de vue schéma fonctionnel, il faut bien se rendre compte que la fonction de transfert 1 / K n’a pas forcément de sens physique mais seulement une représentation symbolique.

• Déplacement d’une jonction

Les schémas ci-dessous sont équivalents :

U = K.E    S1= K.G.E  et  S2 = K.F.E	S1 = K.G.E  et  S2 = K.F.E
Fig 2.26	Fig 2.27

De la transformation précédente, on déduit la modification du schéma ci-dessous, avec la même remarque pour 1/K :

S1 = K.G.E    S2 = F.E	S1 = K.G.E   S2 = F.1/K .K.E=FE
Fig 2.28	Fig 2.29

  Schéma canonique d’un système asservi.

Matériellement, un système de commande en boucle fermée est constitué de plusieurs organes. Le schéma fonctionnel est constitué de plusieurs blocs connectés les uns aux autres par les signaux d’entrée et de sortie. Par une série de transformation, ce schéma fonctionnel peut être réduit au schéma canonique suivant :

Fig 2.30

Ce schéma permet d’introduire les principales fonctions de transfert de l’asservissement:

Fonction de transfert de la chaîne directe:
Fonction de transfert de la chaîne de retour :
Fonction de transfert en boucle ouverte :
Fonction de transfert de l’erreur :
Fonction de transfert en boucle fermée:

  Exemples de transformation des schémas fonctionnels.

On propose ci-dessous l’établissement et éventuellement la réduction de schémas fonctionnels pour quelques exemples de systèmes.

Exemple 1 : Schémas fonctionnels d’un circuit RC.

Fig 2.31

Le comportement de ce circuit est décrit par les équations suivantes :

Dans le domaine symbolique (domaine de Laplace), on a :

Ces équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant :

Fig 2.32

En appliquant les règles précédentes, ce schéma se réduit aux schémas suivants:

Fig 2.33

Le dernier bloc contient la fonction de transfert du système à partir de laquelle on peut déduire l’équation différentielle reliant us(t) à ue(t) :

Soit en utilisant la transformée de Laplace inverse :

,

Relation qu’on aurait pu déterminer également à partir des équations temporelles en éliminant le courant i(t).

Exemple 2 :

Le mouvement de rotation de l’arbre d’un moteur à courant continu de type ‘’excitation indépendante’’ résulte de l’action du champ magnétique produit par le circuit inducteur, sur le circuit de l’induit. La variation du couple moteur appliqué sur l’arbre peut s’obtenir par la variation du courant inducteur tout en maintenant le courant induit constant (commande par l’inducteur).

On propose d’établir un schéma fonctionnel du moteur électrique.

On suppose pour la mise en équation que le couple résistant est formé des composantes suivantes :

couple d’inertie:		, J est le moment d’inertie de la partie tournante.
couple de frottement visqueux:		, f  est le coefficient de frottement.

où q désigne l’angle dont a tourné l’arbre à partir d’une position de référence.

 

Fig 2.34

Le couple moteur G_m est proportionnel au courant inducteur; soit G_m = K_cI. La tension de commande V est appliquée au circuit inducteur de résistance R et d’inductance L.

On commence par établir d’abord les équations électrique et mécanique du système :

Equation de l’inducteur :

Equation mécanique de l’induit :

Dans le domaine de Laplace, ces équations s’écrivent :

Ces équations se traduisent par le schéma fonctionnel suivant :

Fig 2.35

Ce schéma se réduit en un seul bloc contenant la fonction de transfert du moteur :

 

Fig 2.36

Exemple 3 : Réduction d’un schéma fonctionnel (Cas où les boucles ne se chevauchent pas).

On considère le schéma fonctionnel donné par la figure ci-dessous :

 

Fig 2.37

En appliquant les règles précédentes, on a les  schémas successifs suivants:

Fig 2.38

 

Fig 2.39

D’où le schéma fonctionnel canonique :

Fig 2.40

Il peut se réduire en un seul bloc contenant la fonction de transfert en boucle fermée :

Fig 2.41

Exemple 5 : Réduction de schéma fonctionnel (Cas où les boucles  se chevauchent)

Fig 2.42

On note que S = G₄ z  et e₃ = x – y = G₂ e₂ - H₁ S et d'où e₃ = G₂ e₂ - H₁ G₄ z. Ce qui se traduit par le schéma équivalent suivant :

Fig 2.43

Les boucles ne sont plus à présent chevauchées et on peut alors appliquer la même procédure que dans l’exemple précédent. On trouve :

Fig 2.44

Remarque : On peut procéder par calcul algébrique pour réduire un schéma fonctionnel.  En effet, on introduit des variables intermédiaires dans le schéma initial et on écrit les relations algébriques reliant ces variables. On élimine par la suite toutes les variables intermédiaires pour trouver la relation entre E et S.

A titre d’exemple, on considère l’exemple de la figure 2.43 :

S = G₄ z     z = G₃ e₃     e₃ = G₂ e₂ – H₁ S

e₂ = G₁ e₁ – H₂ z     e₁ = E – H₃ S

Soit :

S = G4 G3 e₃ = G3 G4(G2e₂–H1S) = G3G4 G2(G1e₁–H2 S/G4)

S = G1 G2 G3 G4 (E – H3 S) – G2 G3 G4 H2 S /G4).

De cette relation, on déduira la relation entre E et S.

Aspects généraux de la commande

des systèmes échantillonnés

1. Introduction générale

1.1 Notion d’échantillonnage

Lorsqu'on désire effectuer un traitement d'un signal analogique, il faut auparavent le numériser. Les signaux physiques sont transformés en signaux discrets par échantillonnage. Ensuite, ces signaux discrets sont traitées par des machines qui sont soit de simples microprocesseurs, des processeurs dédiés au traitement du signal (DSP: Digital Signal Processor), des ordinateurs, etc….

Tous ces systèmes comportent une partie acquisition du signal à base de convertisseurs analogique→ numérique (CAN = Convertisseur Analogique Numérique ou ADC = Analog to Digital Converter) et de convertisseurs numériqe→analogique (CNA = Convertisseur Numérique Analogique ou DAC = Digital to Analog Converter). Comme l'indique le nom de ces composants, le signal continu (analogique) est numérisé (digitalisé) ce qui recouvre deux opérations:

• Une discrétisation par échantillonnage à une période T.

           

• Une numérisation: la valeur de l'échantillon devant être traitée par des composants travaillant en binaire, elle est codée sur un nombre fini de bits. Ce type de codage comporte une perte de précision par arrondi des données. C'est le problème de la quantification liée à la numération binaire à nombre de bits fini.

L’outil mathématique qui permet de traiter les signaux échantillonnés est la transformée en z (l’équivalent de la transformée de Laplace pour les signaux continus)

1.2 Schéma de commande en boucle fermée par calculateur numérique

La nécessité d'échantillonnage dans le contrôle automatisé des processus industriels (nature analogique) apparaîtclairement lorsqu'on décide de les contrôler par insertion des calculateurs numériques.

La communication entre le calculateur numérique et le processus à commander de nature analogique passe à travers deux convertisseurs : le convertisseur numérique analogique et le convertisseur analogique numérique.

CAN= Convertisseur analogique numérique

CNA= Convertisseur numérique analogique

1.3 Principaux rôles du calculateur

Ø      Se substituer au correcteur analogique en apportant plus de souplesse dans le réglage de la loi de commande

Ø      Exécuter le programme moniteur : gestion des tâches

Ø      Fournir un journal de bord sur l’état du processus à commander : Supervision

Ø      Optimisation de fonctionnement

1.4 Comparaison entre commande analogique/numérique

	Points faibles d'un régulateur numérique comparé à un régulateur analogique
1	Observation discontinue de la grandeur réglée (système en boucle ouverte entre deux instants d'échantillonnage).
2	Problèmes de la quantification due aux convertisseurs, à la précision de calcul finie du processeur et au procédé d'échantillonnage (recouvrement spectral).
3	Insertion de retards purs dans la boucle de régulation: - temps de conversion analogique/numérique; - temps d'exécution de l'algorithme de régulation; - temps de conversion numérique/analogique.
4	Insertion dans la boucle de régulation d’une imperfection due à la construction imparfaite de la commande numérique à partir de la commande analogique.
5	Insertion dans la boucle de régulation d'un retard (déphasage) supplémentaire dû à la présence d'un filtre anti-repliement (voir cours de traitement de signal).
6	Synthèse fréquentielle plus délicate
7	Infrastructure logicielle lourde (émulateur, compilateur, assembleur, éditeur de liens).
8	Pour un régulateur simple, grand investissement
9	A structure et gain du régulateur identiques (par exemple PI analogique et PI numérique), le régulateur analogique offre des performances supérieures

1.4  Mise en œuvre pratique

 Ø      Disposer de préférable d’un modèle mathématique du processus à commander;

 Ø     Faire un choix pour la période d’échantillonnage pour cadencer l’acquisition des mesures et

             l’émission de commandes ;

 Ø      Elaborer une stratégie de commande (de type PID par exemple);

 Ø      Programmer la loi de commande.

Donc, on note en particulier les deux points suivants qui différencient essentiellement la commande analogique de la commande numérique :

§   La nécessité d’échantillonnage, ce qui en résulte un choix adéquat de la période d’échantillonnage ;

§   La réalisation de la commande : réalisation programmée au lieu de matérielle

2.  Considérations pratiques

2.1 Sur le choix de la période d’échantillonnage

Le pas d’échantillonnage T est un  paramètre nouveau et fondamental dans la conception d’une commande par calculateur numérique. A des instants réguliers appelés instants d’échantillonnage, il y’a prélèvement d’une mesure et émission d’une commande. Ces deux opérations sont supposées synchrones.

Choix qualitatif

• T ne doit pas être choisi trop faible car le calculateur se consacrera pratiquement au pilotage du système seul alors qu’en réduisant la période d’échantillonnage, il y’a possibilité de confier d’autres tâches au calculateur, notamment le pilotage d’un autre système. Par ailleurs plus le pas est petit, plus la commande numérique s’approchera de la commande continue.
• T ne doit pas être choisi trop faible car il y’a risque à ce que le calculateur ne soit pas informé par les variations des grandeurs contrôlées et que la correction ne soit tardive.

Choix quantitatif

Dans tous les cas la période doit respectée le théorème de Shannon :

w_m : la plus haute pulsation contenue dans le signal à échantillonner.

Recommandation

	Période d’échantillonnage recommandée
Type de variable physique
Organes électriques	T = 0.0001 à 0.1 s
Débit	T = 1 s
Niveau, Pression	T = 1 à 5 s
Température	T = 20 s
Caractéristiques dynamiques
Premier ordre de constante de temps t
Premier ordre avec retard r
Deuxième ordre de pulsation wn
Constante de temps dominante tmax	T < 0.1 tmax
Temps de montée tM	T = 0.25 tM à 0.5 tM
Temps de réponse à 5 % tr	T = 1/15 tr à 1/6 tr

2.2 Conversion analogique numérique et numérique analogique

Modélisation de CAN

D’un point de vue modélisation, l’ensemble capteur convertisseur analogique-numérique peut être assimilé à une prise d’échantillons de la sortie y(t) à période fixe T.  Si l’on fait l’hypothèse que l’échantillonnage est instantané (le temps de codage est négligeable) et qu’il n’y a pas d’erreur de quantification, on peut représenter l’opération de conversion analogique-numérique par le schéma suivant :

Mathématiquement, le signal échantillonné est assimilé à un train d’impulsions d’amplitude où y(k) = y(kT) est la valeur de l’échantillon de y(t) à l’instant kT. Le signal échantillonné s’écrit :

ou  

Modélisation de CNA

Le calculateur numérique élaborant la commande à appliquer au procédé travaille de manière séquentielle et génère des valeurs numériques u(k) avec la même période T que celle qui a été choisie pour l’échantillonnage de la mesure.

L’opération de conversion numérique-analogique selon la plus courante consiste à produire un signal de commande continu par morceaux (en escalier) à partir des valeurs u(k) comme le montre la figure suivante :

Le bloqueur n’est pas un composant physique dans la chaîne de commande. Le blocage se fait par programme en maintenant la valeur de la commande u(k) à l’entrée du CNA pendant toute la période d’échantillonnage.

Ainsi, le calculateur numérique ‘’voit ‘’ non pas le système continu à commander de fonction de transfert G(p) par exemple, mais un système constitué par la cascade bloqueur et le système à commander proprement dit.

Le modèle mathématique que l’on associe alors à la conversion numérique-analogique est le bloqueur d’ordre zéro dont la fonction de transfert B₀(p) peut être facilement calculée.

En effet, on rappelle que la fonction de transfert de tout système est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle.

 a réponse impulsionnelle peut être décomposée en somme de deux échelons comme le montre la figure suivante :

La transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle est par conséquent donnée par :

D’où la fonction de transfert du bloqueur d’ordre zéro :

3. Calcul de la trasmiattance échantillonnée (fonction de transfert)

3.1  Position du problème

Soit un système continu de fonction de transfert G(p) précédé par un échantillonneur périodique (de période T) :

S(p)=G(p) E*(p)

Le calcul de s(t) par inversion de la transformée de Laplace n’est pas commode compte tenu de l’expression ci-dessus. En effet, celle-ci contient à la fois des termes en p à travers G(p) et des termes en e^Tp à travers E*(p). On préfère par conséquent évaluer s(t) uniquement aux instants d’échantillonnage. Pour cela, on place un échantillonneur fictif à la sortie, synchrone avec celui placé à l’entrée.

Le rapport ou encore le rapport  obtenu par le changement de la variable z = e^Tp , est appelé la transmittance en z (Transmittance pulsée, Transmittance échantillonnée).  On montre qu’il est donné par :

Exemple de calcul de transmittance en z

Dans une commande en boucle fermée par calculateur numérique à la   cadence T, la fonction de transfert du système continu à contrôler est donnée par . Calculer la transmittance en z du système vu par le calculateur.

Il convient de tenir compte du bloqueur d’ordre zéro lors du calcul de la transmittance en z :

D’après la table des transformées en z, on a :

3.2 . Schémas fonctionnels

3.2.1  Blocs en série

En plaçant un échantillonneur fictif à la sortie :

 

Attention :

3.2.2  Blocs en série séparés par un échantillonneur

Par abus de langage, on échantillonne ces équations (ce qui veut dire qu’on s’intéresse aux signaux uniquement aux instants d’échantillonnage):

3.2.3    Blocs en boucle fermée avec échantillonnage du signal d’erreur

On commence par écrire les équations à l’aide de la transformée de Laplace :

On échantillonne ces équations :

Ce qui se traduit par le schéma fonctionnel suivant :

Ce schéma est valable uniquement aux instants d’échantillonnage.

3.3     Elaboration de la loi de commande

Le schéma fonctionnel  des asservissements échantillonnés se ramène au schéma suivant :

R(z) : Fonction de transfert du correcteur numérique

G(z) : Fonction de transfert du système à commander échantillonné bloqué G(z) = Z[Bo(p) G(p)]

C(z) : Transformée en z de la consigne

M(z) : Transformée en z de la mesure

e(z)   : Transformée en z de l’erreur

u(z)   : Transformée en z de la commande

Pour élaborer une loi de commande, on distingue deux grandes stratégies :

• Par transposition des correcteurs analogiques :

®     Calculer un correcteur R(p) par l’une des méthodes de synthèse des correcteurs analogiques en considérant une conception purement analogique :

®     Choisir un pas d’échantillonnage

®     Approcher la loi de commande continue u(t) par une loi de commande discrète u(k).

®     Programmer la loi de commande.

Il s’agit de faire « la commande analogique par calculateur ».

• Par calcul direct des correcteurs numériques :

®     Choisir un pas d’échantillonnage ;

®     Déterminer la transmittance G(z) du processus à commander ;

®     Calculer la loi de commande par l’une des méthodes de synthèse des correcteurs numériques ;

®     Programmer la loi de commande.

Il s’agit de la véritable commande par calculateur numérique.

3.4     Programmation de la loi de commande

Une carte d’acquisition industrielle permet de coupler un processus analogique ou logique à un calculateur du type IBM-PC ou compatible. La carte est insérée dans le calculateur (généralement sur un slot PCI)

    

   

Le câblage processus – calculateur se fait par l'intermédiaire d'un boîtier

Toutes les cartes sont livrées avec des routines écrites en langage de type Pascal, Basic ou autre selon le constructeur. L’utilisateur choisit indifféremment un langage de programmation et écrit le programme complet de gestion des entrées/sorties et de la loi de commande. Ce programme contient essentiellement :

§   Initialisation de la carte : adresses des CNA et CAN, mode de fonctionnement, sélection des canaux…

§   1. Acquisition de la mesure ;

§   2. Calcul de la commande ;

§   3. Emission de la commande ;

§   4. Répéter : aller en 1

Donc parmi les tâches confiées à un calculateur est la gestion de la carte d’entrée /sortie. L’étude théorique des boucles d’asservissement ou de régulation suppose une parfaite synchronisation entre l’opération d’acquisition d’une donnée et l’émission d’une commande. Ce qui est pratiquement impossible car la calculateur a besoin d’un certain temps Tc pour élaborer la loi de commande : conversion A/N + temps de calcul de la commande.

Objectif du cours

Au terme de ce cours, on doit être capable :

Ø de maîtriser l’outil mathématique : transformée en Z

Ø d’analyser les boucles de régulation/asservissement numériques : régime transitoire, stabilité, précision

Ø de faire la synthèse de quelques régulateurs numériques : élaboration des lois de commandes numérique

Réglage des asservissements numériques

1.1 Principe de l’asservissement numérique

Afin de mettre en œuvre les asservissements numériques en milieu industriel, l’usage d’outils informatiques comme organes de contrôle des processus asservis est essentiel. C’est le cas par exemples des ordinateurs ou des microcontrôleurs qui peuvent, entre autre, assumer des fonctions de calculateurs numériques.
Les problèmes qu’il s’agit de résoudre pour le contrôle des processus continus concernent les points suivants :
 

(a) l’échantillonnage d’un signal continu et sa conversion en un signal numérique : cette opération est assurée par un Convertisseur-Analogique-Numérique (CAN ou ADC).Le choix de la période est déterminent.
 

(b) la conversion d’un signal numérique en un signal analogique : cette opération consiste à transformer le signal numérique issu du calculateur à l’instant d’échantillonnage (on parlera de signal numérique de commande), en signal analogique de commande existant sur toute la période d’échantillonnage. Cette opération est assurée par un Convertisseur-Numérique-Analogique (CNA ou DAC).Cette opération est rythmée à la même cadence que celle de l’acquisition.
 

(c) la synthèse de la loi de commande : il s’agit d’établir une loi d’évolution du signal de commande en fonction des signaux de mesure et de référence, afin de permettre au système asservi de satisfaire un cahier des charges. Cette fonction est appelée "correction numérique » ou encore « élaboration de la loi de commande numérique ». Elle a pour objectif de déterminer la valeur du signal numérique de commande à chaque instant d’échantillonnage, à partir des valeurs antérieures des signaux numériques de commande, de mesure et de référence. Concrètement, la loi de commande numérique s’exprime comme une relation de récurrence qui permet aisément son implémentation dans un calculateur numérique.
 

1.2  Structure d’un asservissement numérique

La figure suivante représente la structure d’un asservissement numérique dans laquelle est inséré un calculateur numérique réalisant, entre autre, les tâches de l’algorithme de commande. Un tel calculateur peut être à base de mi­croprocesseurs et faire partie d’un microcontrôleur, d’une carte électronique dite d’acquisition et de traitement temps réel, type DSP, réalisant également les opérations de conver­sion.

Structure typique de la réalisation d’un asservissement numérique.

1.3  Objectifs de la correction

On rappelle que l’objectif de toute correction est d´imposer des performances afin qu’elles respectent au mieux les spécifications d´un cahier des charges. De même, on rappelle que les performances sont relatives à la stabilité, la précision, et la rapidité, etc...)
De façon qualitative :

• Pour assurer la stabilité en boucle fermée, il faut rassembler tous les pôles du système dans le cercle unité, il faut éloigner le plus possible les pôles de ce cercle en les rapprochant de l’origine.

• Pour rendre le système plus précis, il faut augmenter le gain statique, voire ajouter des intégrateurs pour augmenter la classe du système
• Pour améliorer la rapidité du système, il faut augmenter la bande passante de celui-ci, en augmentant la valeur de la fréquence de coupure.

Il existe différentes structures de commande numérique. Ce chapitre est consacré à la correction numérique série où deux approches sont détaillées : 

               ==> la correction par la méthode de transposition des correcteurs analogiques

               ==>  la correction directe par la méthode du modèle

1.4 Méthodes de la correction numérique

1.4.1 Transposition des correcteurs continus

Les techniques de correction des systèmes analogiques sont bien connues. Une possibilité de faire la synthèse d’un correcteur numérique est de concevoir d’abord un correcteur analogique satisfaisant dans le domaine continu les spécifications d’un cahier des charges et d’effectuer ensuite une transformation de la variable p en variable z.

Cette transformation se fera nécessairement à l’aide des approximations car la relation reliant p à z, à savoir   z = e^pT ne conduit pas à une fraction polynomiale en z en partant d’une fraction polynomiale en p.

Il existe différentes méthodes d’approximation présentant chacune des avantages et des inconvénients quant à leur précision, leur efficacité ou leur mise en oeuvre. Le choix de l’une ou l’autre de ces méthodes est susceptible d’influencer la validité des résultats en termes de performance.

Voici quelques techniques d’appoximation

Soit l’équation d’intégration :  ().

L’idée de l’approximation repose sur la relation suivante :, qui peut s’écrire aussi de la manière simplifiée suivante:, où T représente la période d’échantillonnage.

Cette intégrale peut être approchée de plusieurs manières :

Ø      Méthode 1 d’Euler (forward method) :

è è

Ce qui signifie que la variable p est approchée par . Elle coïncide avec l’approximation de la relation.

Remarque : On obtient le même résultat si on approche la dérivée par :  

Ø       Méthode 2 d’Euler (backward method) :

è è

Ce qui signifie que la variable p est approchée par. Elle coïncide avec l’approximation de la relation  

Remarque : On obtient le même résultat si on approche la dérivée par :

Ø       Méthode de Tutsin :

è è

Ce qui signifie que la variable p est approchée par. Elle coïncide avec l’approximation de la relation  .

Application au calcul d’un régulateur PID

Supposons que lors de la conception d’une boucle d’asservissement continue, le régulateur est un PID de structure parallèle filtré: . ( Paramètres connus)

Il est évident que le régulateur PID numérique découlant du PID analogique ne sera  pas unique puisque cela dépendra de l’approximation adoptée pour passer de p à z.

A titre d’illustration, on considère la deuxième approximation d’Euler :

R(z) s’écrit : avec

è

è Loi de commande :

Un exemple d’application

On souhaite faire la commande par calculateur numérique d’un système continu de fonction de transfert :

Le cahier des charges stipule une précision statique parfaite vis-à-vis d’une consigne constante assortie d’un temps de réponse n’excédant pas 3 s.

Un régulateur PI peut satisfaire ce cahier des charges :. En effet, l’action intégrale assurera une erreur nulle en régime statique et l’action proportionnelle permettra quant à elle de fixer le temps de réponse. Le choix classique Ti = 5s conduit à la fonction de transfert en boucle ouverte suivante :

La fonction de transfert en boucle fermée s’écrit :.

Le temps de réponse à 5% est lié à K_p par la relation . Il s’ensuit que pour avoir ce temps de réponse égal à 3 s, il convient alors de choisir  

D’où la fonction de transfert du régulateur

Il s’agit à présent de transformer le régulateur continu en régulateur numérique. Pour ce faire, on choisit correctement une période d’échantillonnage qui dans le présent, elle sera fixée à T = 0.1 s. On opte ensuite pour discrétiser le régulateur continu de choisir l’une des méthodes d’approximation pour passer de p à z.

Soit par exemple la deuxième méthode d’Euler :

Afin de comparer les performances obtenues avec celles de l’asservissement continu, on calcule la fonction de transfert en boucle fermée de l’asservissement numérique :

§   Fonction de transfert en boucle ouverte :

§   Fonction de transfert en boucle fermée :

Sur la figure suivante, on a représenté les réponses en boucle fermée de l’asservissement analogique et numérique à un échelon unité. Le résultat peut être jugé dans ce cas satisfaisant.

Calcul de la loi de commande :

Le régulateur  

è u(z) - z^-1u(z) = 2.55 (e(z) - 0.98 z^-1e(z) )  è  u(n) = u(n-1) + 2.55 (e(n) - 0.98 e(n-1)) où e(n) est la différence entre la consigne c(n) et la mesure y(n) à l’instant d’échantillonnage nT.

Programmation de la loi de commande :

Les étapes de l’algorithme sont :

• Initialisation  u₀ = 0  e₀ = 0
• Lire la mesure y    ç Etape 1
• Calculer l’erreur e = c – y
• Calculer et envoyer la commande u = u₀ + 2.55 (e - 0.98 e₀)
• Sauvegarder u₀ = u  e₀  = e   
• Attendre la fin de la période d’échantillonnage
• Aller à l’étape 1.

Comment peut-on améliorer la méthode de transposition des correcteurs analogiques ?

La méthode de transposition des correcteurs analogiques est simple et ne nécessite pas de connaissances accrues dans la théorie des systèmes échantillonnés. Seules les techniques de la commande analogique sont requises. Ces méthodes peuvent être améliorées:

Ø  En diminuant la période d’échantillonnage car plus est petite cette période, plus la commande numérique tend vers la commande analogique;

Ø  En choisissant une meilleure approximation pour passer de p à z;

1.4.2 Méthode directe de la synthèse du régulateur numérique

Les méthodes directes (théoriques) sont très nombreuses et reposent sur la connaissance généralement sur la connaissance d’un modèle discret précis du système à commander. Les performances réelles obtenues dépendent de la qualité du modèle et de son aptitude à représenter le mieux possible le procédé.

Pour obtenir ce modèle, on peut partir du modèle continu qu’on discrétise en calculant  où G(p) désigne la fonction de transfert continue du procédé. L’autre méthode pour obtenir G(z) est de faire une identification directe assistée par calculateur numérique.

Parmi les méthodes directes, on propose de présenter la méthode du modèle. Elle est basée sur la donnée d’un modèle en boucle fermée à atteindre répondant à un cahier des charges.

La structure de commande en boucle fermée est la suivante :

 

La fonction de transfert en boucle ouverte est

La fonction de transfert en boucle fermée est

a - Principe

Si la fonction de transfert en boucle fermée F(z) est donnée, c’est-à-dire qu’elle a été élaborée de manière à répondre au cahier des charges, le régulateur R(z) est déterminé tout simplement par la relation suivante :

Usuellement, le comportement souhaité en boucle fermée est celui d’un système d’ordre un ou d’ordre deux avec un gain statique unitaire, ce qui permet d’assurer une précision statique parfaite. Les modèles suivants sont souvent proposés :

§         Modèle d’ordre 1 :

§         Modèle d’ordre 2 :

§         Modèle d’ordre n permettant d’annuler l’erreur statique au bout de n périodes d’échantillonnages :

Une fois que la fonction de transfert en boucle fermée désirée est établie, on détermine l’expression du régulateur R(z) par la formule ci-dessus à partir de laquelle on déduit la loi de commande à programmer.

On note que l’expression de R(z) repose sur la connaissance de G(z) et on conclue dès à présent que le succès de cette méthode est conditionné par la précision avec le modèle G(z) a été obtenue.

b - Exemple

Soit F(z) la fonction de transfert en boucle fermée désirée:

.

Elle admet un gain statique unitaire et donc garantissant une précision statique parfaite. Elle assure un dépassement indiciel n’excédant pas 5% comme le montre la réponse à un échelon unité ci-dessous.

Le régulateur R(z) s’obtient par :

Programmation de la loi de commande :

La loi de commande qui découle de R(z) est :

u(n) = 0.414 u(n-1)   + 0.5 u(n-2) + 0.085 u(n-3) + 0.39e(n)  + 1.56e (n-1)  + 1.515e(n-2) + 0.22e(n-3)

Les étapes de l’algorithme sont :

• Initialisation  u₁ = 0  u₂ = 0  u₃ = 0  e₁ = 0 e₂ = 0 e₃ = 0
• Lire la mesure y sur le CAN ç Etape 1
• Calculer l’erreur e = c – y
• Calculer la commande u = 0.414 u₁ + 0.5 u₂ + 0.085 u₃ +0.39e + 1.56e₁  + 1.515e₂  + 0.22e₃
• Envoyer la commande vers le CNA
• Sauvegarder u₃ = u₂  u₂ = u₁  u₁ = u    e₃ = e₂  e₂ = e₁  e₁ = e
• Attendre la fin de la période d’échantillonnage
• Aller à l’étape 1.

c - Le point sur la méthode du modèle.

La méthode du modèle est simple dans son principe. Mais la grande difficulté réside en général dans la traduction des éléments du cahier des charges pour obtenir la fonction de transfert désirée en boucle fermée.

Il n’est pas toujours possible d’obtenir un régulateur réalisable au sens physique des termes, c’est-à-dire une loi de commande réalisable. C’est le cas où le degré du numérateur de R(z) est supérieur à celui de son dénominateur.

Si une telle situation se présente, une solution consiste à augmenter l’ordre de la fonction de transfert désirée en boucle fermée, ce qui permet d’augmenter le degré du dénominateur de R(z).

On note enfin que les pôles (respectivement les zéros) de G(z) deviennent des zéros (respectivement les pôles) de R(z). Ainsi si G(z) possède un zéro instable ( module supérieur à un), celui-ci se trouve comme pôle pour R(z).

Il s’en suit que le régulateur est instable. Concrètement, cela veut dire que le signal de commande augmentera jusqu’à la saturation. En conclusion, la méthode du modèle ne convient pas pour les systèmes à zéros instables 

régulation automatique

http://www.polytech-lille.fr/cours-regulation-automatique/

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